نوشته‌ای بر هندسه‌ی فینسلر

Georg Friedrich Bernhard Riemann  در سال ۱۸۵۷ هندسه‌ی ریمانی را معرفی کرد. این هندسه تعمیمی از هندسه‌ی اقلیدسی است که  المان طول در آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

با استفاده از این المان طول می‌توان طول هر مسیری را اندازه گرفت. اگر یک خم در نظر بگیریم طول خم برابر خواهد شد با

 

در همین سخنرانی‌اش ریمان بیان کرد که می‌توان المان طول را به هر صورت دیگری که دوست داریم نیز تعریف کنیم. مثلا بیان کرد که می‌توانیم المان طول را نه با متریک بلکه با یک تانسور چهاراندیسه به صورت زیر بیان کرد

و باز تمام کارهایی که در هندسه ی ریمان انجام می‌دهیم را به این تعریف طول نیز گسترش دهیم. ریمان سالهای آخر عمرش را در University of Göttingen سپری کرد. اما در جوانی و سن ۳۹ سالگی وفات کرد. گسترشهای هندسی‌ای که از هندسه‌اش در نظرش بود را چندان انجام نداد. 

در سال ۱۹۰۷ دو سال پس از ارایه‌ی نظریه‌ی نسبیت خاص هندسه‌ی مینکوفسکی معرفی شد. این هندسه گسترشی از فضای اقلیدسی بود که به سادگی هندسه‌ی ریمانی  گسترش یافت.  در سال ۱۹۱۸ یکی از دانشجویان دکترای University of Göttingen به نام Paul Finsler زیر نظر  Prof. Constantin Carathéodory که دانشجویان بسیار  خوبی را تربیت کرده تعمیمی زیبا از هندسه‌ی ریمانی را به عنوان تزش ارایه داد. این تعمیم توسط  Élie  Joseph Cartan  در سال ۱۹۳۳ فضای فینسلر نامیده شد. 

در فضای فینسلر فرض می‌شود طول یک مسیر بستگی به این دارد شما با چه سرعتی روی مسیر می‌دوید. طول مسیر مستقل از سرعت نیست. طول یک خم به صورت زیر تعریف می‌شود:

طول خم مستقل از بازپارامتر کردن آن هست. اما در بعضی از تعریفهای هندسه‌ی فینسلر  طول خم می‌تواند تحت پاریته روی خم ناوردا نباشد. در بعضی از تعریفهای دیگر طول خم تحت تقارنهای گسسته نیز باید ناوردا باشد.  اینها شروطی روی تابع L می‌گذارند. تابع L تمام مشخصات هندسه‌ی فینسلر را به ما می‌دهد. در فضای فینسلر می‌توان هموستار تعریف کرد, مشتق هموردا تعریف نمود و هم چنین تانسورهایی که مشخصات هندسی خمینه‌ی فینسلر را حمل می‌کنند معین کرد. فضای فینسلر سه تانسور خمش  و پنچ تانسور پیچش ذاتی دارد. اگر به حالتهای ساده از آن نگاه کنیم تنها تعمیمی از گسترش تانسور ریمان را در آن مشاهده خواهیم کرد.

یک پروژه‌ی بسیار زیبای کارشناسی‌ی ارشد این است که دانشجویی یک پکیج برای محاسبات تانسوری روی فضای فینسلر بنویسد. هنوز هیچ بنده خدای خیری این کار را نکرده است. اگر این کار را انجام دهید مشهور می‌شوید و از پکیج شما بسیار استفاده خواهند کرد. با توجه به اخراجم از دانشگاه تحصیلات تکمیلی علوم پایه توسط معاونت و ریاست آن مرکز با  اتهام نداشتن مدرک دکترا و عدم پاسخگویی وزارت به نامه‌هایم من نمی‌توانم شخصا این مسیولیت این پروژه را به عهده بگیرم اما می‌توانم به انجام آن کمک فکری ارایه دهم و به صورت اکید انجام این پروژه را توصیه می‌کنم. این پروژه کار سختی نیست و ساده است.

این روزها فیزیکدانان شروع به صحبت در مورد هندسه‌ی فینلسر کرده‌اند. به عنوان مثال در هندسه‌ی فینسلر می‌توان ماده‌ی تاریک, انرژی‌ی تاریک, ناهنجاری‌ی کاوشگرهای پیشتاز ده ویازده, احتمالا ناهنجاری Flyby را می‌توان به خصوصیات هندسی‌ی فضا-زمان فیزیکی خودمان نسبت دهیم. انتشار یک شاره در یک محیط متخلخل  ناهمسانگرد را نیز را می‌توان خیلی ساده با هندسه‌ی فینسلر توصیف کرد. هم چنین انتشار امواج در محیطها غیر خطی‌ی اپتیکی, بعضی از جوابهای سیستمهای نورونی را, و همین طور الی آخر...

هندسه‌ی فینسلر گسترشی ازهندسه است که چارچوبی بسیار عالی برای  شکست تقارن لورنتس ارایه می‌دهد. این هندسه به صورت موضعی  فضای تخت نیست. تقارنهای هندسه‌ی فینسلر با استفاده از Groupoid theory ارایه می‌گردد نه با نظریه‌ی گروه.

هندسه‌ی فینسلر باید بتواند تعدادی از تکینگی‌های نسبیت عام را بدون استفاده از نظریه‌ی کوانتم حل کند. هنگامی که یک تکینگی وجود دارد و چیزی به درون تکینگی سقوط می‌کند هر چه به تکینگی نزدیکتر شود سرعتش بیشتر می‌شود. اگر فضا-زمان با هندسه ی فینسلر توصیف گردد آن گاه نزدیک تکینگی آنقدر سرعت همه چیز نورگونه شده است که دیگر توصیف فاصله بر حسب المان طول ریمان درست نیست. طول فیزیکی که فینسلری است می‌تواند تکینگی نداشته باشد.

هندسه‌ی فینسلر یک خصوصیت بسیار زیبای دیگری هم دارد. این خصوصیت می‌تواند بسیار بنیادی باشد. در این هندسه تکانه‌ی ذره و مختصات ذره مانند هم دیده می‌شوند. در یک دسته بندی قرار می‌گیرند. یعنی در هندسه‌ی فینسلر کوانتم مکانیکی که امروز مشاهده می‌کنیم یک پدیده‌ی ظاهری است یعنی Quantum mechanics is an Emergent Geometrical Phenomenon. اتفاقی افتاده است که بخشی از فضای مماس بر خمینه‌ی فینسلر ناجابجایی شده است. کوانتم مکانیک فعلی این ناجابجایی هست. کوانتم مکانیک فعلی در هندسه‌ی فینسلر یک نظریه‌ی بنیادی نیست. یعنی هندسه‌ی فینسلر به سادگی چارچوبی برای مطالعه‌ی سیستماتیک گسترشهایی از مکانیک کوانتمی‌ی معمولی هم هست.

مطالعه‌ی کوانتم مکانیک بر هندسه‌ی فینسلر هم بسیار زیبا است. این بخش هنوز در فیزیک نظری بسیار جای مطالعه دارد.

نگارنده: قاسم اکسیری فرد